Calculadora del seno de un ángulo

Con esta calculadora puedes calcular el seno de un ángulo. Puedes escoger entre expresar el valor del ángulo en grados o radianes.


La función seno

La función seno es una de las tres principales funciones trigonométricas.

El seno de un ángulo puede definirse a partir de un triángulo rectángulo. En un triángulo rectángulo, uno de los ángulos es igual a 90°.

Si consideramos que otro de los ángulos es igual a $\alpha$, podemos definir el seno de este ángulo como la relación entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. Es decir:

$$\sin\alpha=\frac{\text{Cateto opuesto}}{\text{Hipotenusa}}=\frac{b}{c}$$

Triángulo rectángulo (Función seno)

Por ejemplo, considerando que el cateto opuesto tiene una longitud igual a 3 y la hipotenusa es igual a 6, podemos calcular que el seno del ángulo entre estos lados del triángulo es igual a:

$$\sin\alpha=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\longrightarrow\alpha=\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)=30\degree$$

Triángulo rectángulo (Seno 30 grados)

Identidades trigonométricas de la función seno

La función seno es una función impar, esto significa que:

$$\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$$

El seno y el coseno de un ángulo se relacionan mediante las siguientes expresiones:

$$\begin{gathered}\sin(\alpha)=\cos(\alpha-90\degree)=\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right)\\\sin(\alpha)=\cos(90\degree-\alpha)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\end{gathered}$$

El seno del doble de un ángulo es equivalente a:

$$\begin{aligned}\sin(2\alpha)&=2\sin\alpha\cos\alpha\\&=\frac{2\tan\alpha}{1+\tan^2\alpha}\end{aligned}$$

El seno del triple de un ángulo es equivalente a:

$$\begin{aligned}\sin(3\alpha)&=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha\\&=3\cos^2\alpha\sin\alpha-\sin^3\alpha\end{aligned}$$

El seno de la mitad de un ángulo puede calcularse a partir de la expresión:

$$\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{1-\cos\alpha}{2}$$

El seno de la suma de dos ángulos puede expresarse como:

$$\sin(\alpha + \beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$

De forma similar, el seno de la diferencia entre dos ángulos es igual a:

$$\sin(\alpha - \beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$$

La suma de senos puede expresarse como:

$$\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$$

Y la resta de senos como:

$$\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$$

Fórmulas de la función seno

Para el cálculo integral y diferencial es importante conocer la derivada y la integral de la función seno:

$$\begin{gathered}\frac{d}{dx}\sin x=\cos x\\\int\sin x\thinspace dx=-\cos x + k\end{gathered}$$

A partir de la fórmula de Euler puede deducirse la siguiente igualdad:

$$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$$

Por último, la serie de Taylor de la función seno es igual a:

$$\sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}\mp\mathellipsis$$

Gráfica de la función seno

La siguiente gráfica muestra el valor de la función seno para valores del ángulo contenidos entre -360° y 360°.

Como puedes ver, el valor del seno siempre está contenido entre -1 y 1.

Valores exactos de la función seno

La función seno de los siguientes ángulos puede calcularse exactamente mediante las expresiones indicadas:

Seno de 0°$\sin0\degree=0$

Seno de 30°$\sin30\degree=\frac{1}{2}$

Seno de 45°$\sin45\degree=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Seno de 60°$\sin60\degree=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Seno de 90°$\sin90\degree=1$

Seno de 120°$\sin120\degree=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Seno de 135°$\sin135\degree=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Seno de 150°$\sin150\degree=\frac{1}{2}$

Seno de 180°$\sin180\degree=0$

Seno de 210°$\sin210\degree=-\frac{1}{2}$

Seno de 225°$\sin225\degree=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Seno de 240°$\sin240\degree=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Seno de 270°$\sin270\degree=-1$

Seno de 300°$\sin300\degree=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Seno de 315°$\sin315\degree=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Seno de 330°$\sin330\degree=-\frac{1}{2}$

Seno de 360°$\sin360\degree=0$