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Calculadora del seno de un ángulo

Con esta calculadora puedes calcular el seno de un ángulo. Puedes escoger entre expresar el valor del ángulo en grados o radianes.

La función seno

La función seno es una de las tres principales funciones trigonométricas.

El seno de un ángulo puede definirse a partir de un triángulo rectángulo. En un triángulo rectángulo, uno de los ángulos es igual a 90°.

Si consideramos que otro de los ángulos es igual a α\alpha, podemos definir el seno de este ángulo como la relación entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. Es decir:

sin⁡α=Cateto opuestoHipotenusa=bc\sin\alpha=\frac{\text{Cateto opuesto}}{\text{Hipotenusa}}=\frac{b}{c}
Triángulo rectángulo (Función seno)

Por ejemplo, considerando que el cateto opuesto tiene una longitud igual a 3 y la hipotenusa es igual a 6, podemos calcular que el seno del ángulo entre estos lados del triángulo es igual a:

sin⁡α=36=12⟶α=arcsin⁡(12)=30°\sin\alpha=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\longrightarrow\alpha=\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)=30\degree
Triángulo rectángulo (Seno 30 grados)

Identidades trigonométricas de la función seno

La función seno es una función impar, esto significa que:

sin⁡(−α)=−sin⁡α\sin(-\alpha)=-\sin\alpha

El seno y el coseno de un ángulo se relacionan mediante las siguientes expresiones:

sin⁡(α)=cos⁡(α−90°)=cos⁡(α−π2)sin⁡(α)=cos⁡(90°−α)=cos⁡(π2−α)\begin{gathered}\sin(\alpha)=\cos(\alpha-90\degree)=\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right)\\\sin(\alpha)=\cos(90\degree-\alpha)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\end{gathered}

El seno del doble de un ángulo es equivalente a:

sin⁡(2α)=2sin⁡αcos⁡α=2tan⁡α1+tan⁡2α\begin{aligned}\sin(2\alpha)&=2\sin\alpha\cos\alpha\\&=\frac{2\tan\alpha}{1+\tan^2\alpha}\end{aligned}

El seno del triple de un ángulo es equivalente a:

sin⁡(3α)=3sin⁡α−4sin⁡3α=3cos⁡2αsin⁡α−sin⁡3α\begin{aligned}\sin(3\alpha)&=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha\\&=3\cos^2\alpha\sin\alpha-\sin^3\alpha\end{aligned}

El seno de la mitad de un ángulo puede calcularse a partir de la expresión:

sin⁡2(α2)=1−cos⁡α2\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{1-\cos\alpha}{2}

El seno de la suma de dos ángulos puede expresarse como:

sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha + \beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta

De forma similar, el seno de la diferencia entre dos ángulos es igual a:

sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha - \beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta

La suma de senos puede expresarse como:

sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡(α+β2)cos⁡(α−β2)\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)

Y la resta de senos como:

sin⁡α−sin⁡β=2cos⁡(α+β2)sin⁡(α−β2)\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)

Fórmulas de la función seno

Para el cálculo integral y diferencial es importante conocer la derivada y la integral de la función seno:

ddxsin⁡x=cos⁡x∫sin⁡xdx=−cos⁡x+k\begin{gathered}\frac{d}{dx}\sin x=\cos x\\\int\sin x\thinspace dx=-\cos x + k\end{gathered}

A partir de la fórmula de Euler puede deducirse la siguiente igualdad:

sin⁡x=eix−e−ix2i\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}

Por último, la serie de Taylor de la función seno es igual a:

sin⁡(x)=∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!=x1!−x33!+x55!∓…\sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}\mp\mathellipsis

Gráfica de la función seno

La siguiente gráfica muestra el valor de la función seno para valores del ángulo contenidos entre -360° y 360°.

Como puedes ver, el valor del seno siempre está contenido entre -1 y 1.

Valores exactos de la función seno

La función seno de los siguientes ángulos puede calcularse exactamente mediante las expresiones indicadas:

Seno de 0° → sin⁡0°=0\sin0\degree=0

Seno de 30° → sin⁡30°=12\sin30\degree=\frac{1}{2}

Seno de 45° → sin⁡45°=22\sin45\degree=\frac{\sqrt{2}}{2}

Seno de 60° → sin⁡60°=32\sin60\degree=\frac{\sqrt{3}}{2}

Seno de 90° → sin⁡90°=1\sin90\degree=1

Seno de 120° → sin⁡120°=32\sin120\degree=\frac{\sqrt{3}}{2}

Seno de 135° → sin⁡135°=22\sin135\degree=\frac{\sqrt{2}}{2}

Seno de 150° → sin⁡150°=12\sin150\degree=\frac{1}{2}

Seno de 180° → sin⁡180°=0\sin180\degree=0

Seno de 210° → sin⁡210°=−12\sin210\degree=-\frac{1}{2}

Seno de 225° → sin⁡225°=−22\sin225\degree=-\frac{\sqrt{2}}{2}

Seno de 240° → sin⁡240°=−32\sin240\degree=-\frac{\sqrt{3}}{2}

Seno de 270° → sin⁡270°=−1\sin270\degree=-1

Seno de 300° → sin⁡300°=−32\sin300\degree=-\frac{\sqrt{3}}{2}

Seno de 315° → sin⁡315°=−22\sin315\degree=-\frac{\sqrt{2}}{2}

Seno de 330° → sin⁡330°=−12\sin330\degree=-\frac{1}{2}

Seno de 360° → sin⁡360°=0\sin360\degree=0

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