Calculadora de la inversa de una matriz

La inversa de una matriz cuadrada $A$ es otra matriz de la misma dimensión y representada por $A^{-1}$ tal que

$$A^{-1}A = I$$

Donde $I$ representa la matriz identidad.

Puedes utilizar la siguiente calculadora para obtener la inversa de la matriz que introduzcas:

Cálculo de la matriz inversa

Uno de los métodos más utilizados para calcular una matriz inversa consiste en calcular primero la matriz adjunta y dividirla por el determinante de la matriz. Es decir,

$$A^{-1}=\dfrac{\text{adj}(A)}{\vert A\vert}$$

Para calcular la matriz adjunta solo hay que transponer la matriz de cofactores. La matriz de cofactores se obtiene a su vez calculando un determinante por cada celda de la matriz.

Imaginemos que queremos calcular la celda $(i,j)$ de la matriz de cofactores. En primer lugar eliminamos la fila $i$ y la columna $j$. En segundo lugar calculamos el determinante de la submatriz resultante. Por último, es necesario multiplicar el resultado por $(-1)^{i+j}$.

El siguiente caso ejemplifica este proceso. Imaginemos que queremos calcular la matriz inversa de:

$$\begin{pmatrix} 7 & 4 & 2 \\ 5 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 1\end{pmatrix}$$

Empezamos calculando la celda $(1,1)$ de la matriz de cofactores. Para ello calculamos el determinante de la submatriz obtenida al eliminar la fila $1$ y la columna $1$. Es decir,

$$C_{11}=\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix}=-1$$

A continuación es necesario multiplicar por $(-1)^{i+j}$ o de forma equivalente, multiplicar por el + o - según corresponda a partir de la posición de la celda en la siguiente matriz:

$$\begin{pmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & +\end{pmatrix}$$

Siguiendo este esquema pueden calcularse el resto de elementos de la matriz de cofactores.

$$C_{12}=-\begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}=-3$$

$$C_{13}=\begin{vmatrix} 5 & 3 \\ 2 & 4 \end{vmatrix}=14$$

$$C_{21}=-\begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 4 & 1 \end{vmatrix}=-(-4)$$

$$C_{22}=\begin{vmatrix} 7 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}=3$$

$$C_{23}=-\begin{vmatrix} 7 & 4 \\ 2 & 4 \end{vmatrix}=-20$$

$$C_{31}=\begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}=-2$$

$$C_{32}=-\begin{vmatrix} 7 & 2 \\ 5 & 1 \end{vmatrix}=-(-3)$$

$$C_{33}=\begin{vmatrix} 7 & 4 \\ 5 & 3 \end{vmatrix}=1$$

Como resultado, la matriz de cofactores es:

$$C=\begin{pmatrix} -1 & -3 & 14 \\ 4 & 3 & -20 \\ -2 & 3 & 1\end{pmatrix}$$

Y la matriz adjunta se calcula transponiendo la matriz de cofactores:

$$\text{adj}(A)=C^T=\begin{pmatrix} -1 & 4 & -2 \\ -3 & 3 & 3 \\ 14 & -20 & 1\end{pmatrix}$$

Finalmente, la matriz inversa se calcula dividiendo la matriz adjunta por el determinante de la matriz original, que es igual a 9. El resultado obtenido es:

$$A^{-1}=\dfrac{\text{adj}(A)}{\vert A\vert}=\dfrac{1}{9}\begin{pmatrix} -1 & 4 & -2 \\ -3 & 3 & 3 \\ 14 & -20 & 1\end{pmatrix}$$