Calculadora de la inversa de una matriz

La inversa de una matriz cuadrada $A$ es otra matriz de la misma dimensión y representada por $A^{-1}$ tal que

Donde $I$ representa la matriz identidad.

Puedes utilizar la siguiente calculadora para obtener la inversa de la matriz que introduzcas:

Cálculo de la matriz inversa

Uno de los métodos más utilizados para calcular una matriz inversa consiste en calcular primero la matriz adjunta y dividirla por el determinante de la matriz. Es decir,

Para calcular la matriz adjunta solo hay que transponer la matriz de cofactores. La matriz de cofactores se obtiene a su vez calculando un determinante por cada celda de la matriz.

Imaginemos que queremos calcular la celda $(i,j)$ de la matriz de cofactores. En primer lugar eliminamos la fila $i$ y la columna $j$. En segundo lugar calculamos el determinante de la submatriz resultante. Por último, es necesario multiplicar el resultado por $(-1)^{i+j}$.

El siguiente caso ejemplifica este proceso. Imaginemos que queremos calcular la matriz inversa de:

Empezamos calculando la celda $(1,1)$ de la matriz de cofactores. Para ello calculamos el determinante de la submatriz obtenida al eliminar la fila $1$ y la columna $1$. Es decir,

A continuación es necesario multiplicar por $(-1)^{i+j}$ o de forma equivalente, multiplicar por el + o - según corresponda a partir de la posición de la celda en la siguiente matriz:

Siguiendo este esquema pueden calcularse el resto de elementos de la matriz de cofactores.

Como resultado, la matriz de cofactores es:

Y la matriz adjunta se calcula transponiendo la matriz de cofactores:

Finalmente, la matriz inversa se calcula dividiendo la matriz adjunta por el determinante de la matriz original, que es igual a 9. El resultado obtenido es: