Calculadora de desviación típica

Utiliza esta calculadora para obtener la desviación típica del conjunto de números que introduzcas.

La calculadora te mostrará tanto la desviación típica muestral como la desviación típica poblacional. Puedes encontrar la fórmula para cada caso debajo la calculadora.

Recuerda indicar si la representación decimal de tus datos es mediante punto o coma y también el símbolo utilizado para separar los distintos números.

Media:

$$\bar{x}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i}{n}$$

Desviación típica muestral:

$$\sigma = \sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}=\sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dotsm+(x_n-\bar{x})^2}{n-1}}$$

Desviación típica poblacional:

$$\sigma =\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}{n}}= \sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dotsm+(x_n-\bar{x})^2}{n}}$$

Cálculo de la desviación típica

La desviación típica o desviación estándar cuantifica la dispersión de un conjunto de números. Valores bajos de la la desviación típica indican que los números del conjunto están relativamente concentrados alrededor de la media. En caso contrario, valores altos indican una mayor extensión del rango de valores de los números dentro del conjunto.

Habitualmente la desviación típica se representa con la letra griega sigma (σ).

La fórmula para calcular la desviación típica de una muestra es la siguiente:

$$\sigma = \sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}$$

Como puedes observar, una de las variables necesarias para calcular la desviación típica es la media de la muestra, es decir:

$$\bar{x}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i}{n}$$

Una vez conocida la muestra podemos pasar a calcular la diferencia entre cada número del conjunto y la media del conjunto, es decir:

$$x_1-\bar{x}$$

$$x_2-\bar{x}$$

$$\dotsm$$

$$x_n-\bar{x}$$

A continuación elevamos al cuadrado cada una de estas cantidades:

$$(x_1-\bar{x})^2$$

$$(x_2-\bar{x})^2$$

$$\dotsm$$

$$(x_n-\bar{x})^2$$

Finalmente podemos obtener la desviación típica sumando todos estos factores, diviendo por el número de factores menos uno y calculando la raíz cuadrada del resultado. Es decir

$$\sigma =\sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dotsm+(x_n-\bar{x})^2}{n-1}}$$

Esta fórmula puede expresarse de forma más compacta como:

$$\sigma = \sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}$$

Veamos a continuación un ejemplo del cálculo de la desviación típica. Si consideramos el siguiente conjunto de números:

$$\{3,4,6,7\}$$

El primer paso es calcular la media de este conjunto:

$$\frac{3+4+6+7}{4}=5$$

A continuación calculamos la diferencia entre cada número y la media y elevamos el resultado al cuadrado:

$$\begin{gathered}(3-5)^2=(-2)^2=4\\(4-5)^2=(-1)^2=1\\(6-5)^2=1^2=1\\(7-5)^2=2^2=4\end{gathered}$$

A continuación sumamos estos factores resultantes y dividimos por $n-1$, en este caso, por 3:

$$\sigma^2=\frac{4+1+1+4}{3}=3.333$$

Por último, la desviación típica es igual a:

$$\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{\frac{4+1+1+4}{3}}=\sqrt{3.333}=1.826$$

El ejemplo anterior se ha calculado la desviación típica utilizando la fórmula de la desviación típica muestral. En este caso se considera que la muestra disponible es una pequeña parte de la población total. En estos casos se calcula la desviación típica colocando $n-1$ en el denominador ya que esto da como resultado una estimación más precisa de la desviación típica en estos casos.

Sin embargo, puede haber casos en los que tengamos disponibles todos los valores de la población. Para estos casos es más recomendable utilizar la fórmula de la desviación típica poblacional.

$$\sigma =\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}{n}}$$

Como puedes ver, en este caso calculamos la desviación estándar dividiendo directamente por $n$ en lugar de por $n-1$. En el ejemplo anterior, este cálculo daría como resultado:

$$\sigma=\sqrt{\frac{4+1+1+4}{n}}=\sqrt{\frac{4+1+1+4}{4}}=1.581$$