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Calculadora del coseno de un ángulo

Con esta calculadora puedes calcular el coseno de un ángulo. Puedes escoger entre expresar el valor del ángulo en grados o radianes.

La función coseno

La función coseno es una de las tres principales funciones trigonométricas.

El coseno de un ángulo puede definirse a partir de un triángulo rectángulo. En un triángulo rectángulo, uno de los ángulos es igual a 90°.

Si consideramos que otro de los ángulos es igual a α\alpha, podemos definir el coseno de este ángulo como la relación entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa. Es decir:

cos⁡α=Cateto adyacenteHipotenusa=ac\cos\alpha=\frac{\text{Cateto adyacente}}{\text{Hipotenusa}}=\frac{a}{c}
Triángulo rectángulo (Función coseno)

Por ejemplo, considerando que el cateto adyacente tiene una longitud igual a 5 y la hipotenusa es igual a 10, podemos calcular que el coseno del ángulo entre estos lados del triángulo es igual a:

cos⁡α=510=12⟶α=arccos⁡(12)=60°\cos\alpha=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\longrightarrow\alpha=\arccos\left(\frac{1}{2}\right)=60\degree
Triángulo rectángulo (coseno 60 grados)

Identidades trigonométricas de la función coseno

La función coseno es simétrica respecto al eje xx:

cos⁡(α)=cos⁡(−α)\cos(\alpha)=\cos(-\alpha)

El coseno y el seno de un ángulo se relacionan mediante las siguientes expresiones:

cos⁡(α)=sin⁡(90°−α)=sin⁡(π2−α)cos⁡(90°−α)=cos⁡(π2−α)=sin⁡(α)\begin{gathered}\cos(\alpha)=\sin(90\degree-\alpha)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\\\cos(90\degree-\alpha)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin(\alpha)\end{gathered}

El coseno del doble de un ángulo es equivalente a:

cos⁡(2α)=cos⁡2α−sin⁡2α=2cos⁡2α−1=1−2sin⁡2α=1−tan⁡2α1+tan⁡2α\begin{aligned}\cos(2\alpha)&=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\\&=2\cos^2\alpha-1\\&=1-2\sin^2\alpha\\&=\frac{1-\tan^2\alpha}{1+\tan^2\alpha}\end{aligned}

El coseno del triple de un ángulo es equivalente a:

cos⁡(3α)=cos⁡3α−3sin⁡2αcos⁡α=4cos⁡3α−3cos⁡α\begin{aligned}\cos(3\alpha)&=\cos^3\alpha-3\sin^2\alpha\cos\alpha\\&=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha\end{aligned}

El coseno de la mitad de un ángulo puede calcularse también a partir de la expresión:

cos⁡2(α2)=1+cos⁡α2\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{1+\cos\alpha}{2}

El coseno de la suma de dos ángulos puede expresarse como:

cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta

De forma similar, el coseno de la diferencia entre dos ángulos es igual a:

cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha - \beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta

La suma de cosenos puede expresarse como:

cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡(α+β2)cos⁡(α−β2)\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)

Y la resta de cosenos como:

cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡(α+β2)sin⁡(α−β2)\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)

Fórmulas de la función coseno

Para el cálculo integral y diferencial es importante conocer la derivada y la integral de la función coseno:

ddxcos⁡x=−sin⁡x∫cos⁡xdx=sin⁡x+k\begin{gathered}\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x\\\int\cos x\thinspace dx=\sin x + k\end{gathered}

A partir de la fórmula de Euler puede deducirse la siguiente igualdad:

cos⁡x=eix+e−ix2\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}

Por último, la serie de Taylor de la función coseno es igual a:

cos⁡(x)=∑n=0∞(−1)nx2n(2n)!=x00!−x22!+x44!∓…\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}=\frac{x^0}{0!}-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}\mp\mathellipsis

Gráfica de la función coseno

La siguiente gráfica muestra el valor de la función coseno para valores del ángulo contenidos entre -360° y 360°.

Como puedes ver, el valor del coseno siempre está contenido entre -1 y 1.

Valores exactos de la función coseno

La función coseno de los siguientes ángulos puede calcularse exactamente mediante las expresiones indicadas:

Coseno de 0° → cos⁡0°=1\cos0\degree=1

Coseno de 30° → cos⁡30°=32\cos30\degree=\frac{\sqrt{3}}{2}

Coseno de 45° → cos⁡45°=22\cos45\degree=\frac{\sqrt{2}}{2}

Coseno de 60° → cos⁡60°=12\cos60\degree=\frac{1}{2}

Coseno de 90° → cos⁡90°=0\cos90\degree=0

Coseno de 120° → cos⁡120°=−12\cos120\degree=-\frac{1}{2}

Coseno de 135° → cos⁡135°=−22\cos135\degree=-\frac{\sqrt{2}}{2}

Coseno de 150° → cos⁡150°=−32\cos150\degree=-\frac{\sqrt{3}}{2}

Coseno de 180° → cos⁡180°=−1\cos180\degree=-1

Coseno de 210° → cos⁡210°=−32\cos210\degree=-\frac{\sqrt{3}}{2}

Coseno de 225° → cos⁡225°=−22\cos225\degree=-\frac{\sqrt{2}}{2}

Coseno de 240° → cos⁡240°=−12\cos240\degree=-\frac{1}{2}

Coseno de 270° → cos⁡270°=0\cos270\degree=0

Coseno de 300° → cos⁡300°=12\cos300\degree=\frac{1}{2}

Coseno de 315° → cos⁡315°=22\cos315\degree=\frac{\sqrt{2}}{2}

Coseno de 330° → cos⁡330°=32\cos330\degree=\frac{\sqrt{3}}{2}

Coseno de 360° → cos⁡360°=1\cos360\degree=1

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