Calculadora del coseno

Con esta calculadora puedes calcular el coseno de un ángulo. Puedes escoger entre expresar el valor del ángulo en grados o radianes.


La función coseno

La función coseno es una de las tres principales funciones trigonométricas.

El coseno de un ángulo puede definirse a partir de un triángulo rectángulo. En un triángulo rectángulo, uno de los ángulos es igual a 90°.

Si consideramos que otro de los ángulos es igual a $\alpha$, podemos definir el coseno de este ángulo como la relación entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa. Es decir:

$$\cos\alpha=\frac{\text{Cateto adyacente}}{\text{Hipotenusa}}=\frac{a}{c}$$

Triángulo rectángulo (Función coseno)

Por ejemplo, considerando que el cateto adyacente tiene una longitud igual a 5 y la hipotenusa es igual a 10, podemos calcular que el coseno del ángulo entre estos lados del triángulo es igual a:

$$\cos\alpha=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\longrightarrow\alpha=\arccos\left(\frac{1}{2}\right)=60\degree$$

Triángulo rectángulo (coseno 60 grados)

Identidades trigonométricas de la función coseno

La función coseno es simétrica respecto al eje $x$:

$$\cos(\alpha)=\cos(-\alpha)$$

El coseno y el seno de un ángulo se relacionan mediante las siguientes expresiones:

$$\begin{gathered}\cos(\alpha)=\sin(90\degree-\alpha)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\\\cos(90\degree-\alpha)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin(\alpha)\end{gathered}$$

El coseno del doble de un ángulo es equivalente a:

$$\begin{aligned}\cos(2\alpha)&=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\\&=2\cos^2\alpha-1\\&=1-2\sin^2\alpha\\&=\frac{1-\tan^2\alpha}{1+\tan^2\alpha}\end{aligned}$$

El coseno del triple de un ángulo es equivalente a:

$$\begin{aligned}\cos(3\alpha)&=\cos^3\alpha-3\sin^2\alpha\cos\alpha\\&=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha\end{aligned}$$

El coseno de la mitad de un ángulo puede calcularse también a partir de la expresión:

$$\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{1+\cos\alpha}{2}$$

El coseno de la suma de dos ángulos puede expresarse como:

$$\cos(\alpha + \beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$

De forma similar, el coseno de la diferencia entre dos ángulos es igual a:

$$\cos(\alpha - \beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$

La suma de cosenos puede expresarse como:

$$\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$$

Y la resta de cosenos como:

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$$

Fórmulas de la función coseno

Para el cálculo integral y diferencial es importante conocer la derivada y la integral de la función coseno:

$$\begin{gathered}\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x\\\int\cos x\thinspace dx=\sin x + k\end{gathered}$$

A partir de la fórmula de Euler puede deducirse la siguiente igualdad:

$$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$$

Por último, la serie de Taylor de la función coseno es igual a:

$$\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}=\frac{x^0}{0!}-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}\mp\mathellipsis$$

Gráfica de la función coseno

La siguiente gráfica muestra el valor de la función coseno para valores del ángulo contenidos entre -360° y 360°.

Como puedes ver, el valor del coseno siempre está contenido entre -1 y 1.

Valores exactos de la función coseno

La función coseno de los siguientes ángulos puede calcularse exactamente mediante las expresiones indicadas:

Coseno de 0°$\cos0\degree=1$

Coseno de 30°$\cos30\degree=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Coseno de 45°$\cos45\degree=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Coseno de 60°$\cos60\degree=\frac{1}{2}$

Coseno de 90°$\cos90\degree=0$

Coseno de 120°$\cos120\degree=-\frac{1}{2}$

Coseno de 135°$\cos135\degree=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Coseno de 150°$\cos150\degree=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Coseno de 180°$\cos180\degree=-1$

Coseno de 210°$\cos210\degree=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Coseno de 225°$\cos225\degree=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Coseno de 240°$\cos240\degree=-\frac{1}{2}$

Coseno de 270°$\cos270\degree=0$

Coseno de 300°$\cos300\degree=\frac{1}{2}$

Coseno de 315°$\cos315\degree=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Coseno de 330°$\cos330\degree=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Coseno de 360°$\cos360\degree=1$