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Calculadora de la tangente de un ángulo

Con esta calculadora puedes calcular la tangente de un ángulo. Puedes escoger entre expresar el valor del ángulo en grados o radianes.

La función tangente

La función tangente es una de las tres principales funciones trigonométricas.

Una de las formas más simples de definir la tangente de un ángulo es expresarla como la relación entre el seno y el coseno de este ángulo:

tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

La tangente de un ángulo también puede definirse a partir de un triángulo rectángulo. En un triángulo rectángulo, uno de los ángulos es igual a 90°.

Si consideramos que otro de los ángulos es igual a α\alpha, podemos definir la tangente de este ángulo como la relación entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente. Es decir:

tan⁡α=Cateto opuestoCateto adyacente=ba\tan\alpha=\frac{\text{Cateto opuesto}}{\text{Cateto adyacente}}=\frac{b}{a}
Triángulo rectángulo (Función tangente)

Por ejemplo, considerando que el cateto opuesto tiene una longitud igual a 2 y la el cateto adyacente es igual a 4, podemos calcular que la tangente del ángulo entre estos lados del triángulo es igual a:

tan⁡α=24=12⟶α=arctan⁡(12)=26.57°\tan\alpha=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\longrightarrow\alpha=\arctan\left(\frac{1}{2}\right)=26.57\degree
Tangente (triángulo rectángulo)

Identidades trigonométricas de la función tangente

La función tangente es una función impar. Esto significa que se cumple la siguiente igualdad:

tan⁡(−α)=−tan⁡α\tan(-\alpha)=-\tan\alpha

La tangente del doble de un ángulo es equivalente a:

tan⁡(2α)=2tan⁡α1−tan⁡2α\tan(2\alpha)=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}

La tangente del triple de un ángulo es equivalente a:

tan⁡(3α)=3tan⁡α−tan⁡3α1−3tan⁡2α\tan(3\alpha)=\frac{3\tan\alpha-\tan^3\alpha}{1-3\tan^2\alpha}

La tangente de la mitad de un ángulo puede calcularse también a partir de la expresión:

tan⁡α2=sin⁡α1+cos⁡α=1−cos⁡αsin⁡α\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}

La tangente de la suma de dos ángulos puede expresarse como:

tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha + \beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}

De forma similar, la tangente de la diferencia entre dos ángulos es igual a:

tan⁡(α−β)=tan⁡α−tan⁡β1+tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha - \beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}

La suma de tangentes puede expresarse como:

tan⁡α+tan⁡β=sin⁡(α+β)cos⁡αcos⁡β\tan\alpha+\tan\beta=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}

Y la resta de tangentes como:

tan⁡α−tan⁡β=sin⁡(α−β)cos⁡αcos⁡β\tan\alpha-\tan\beta=\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}

Fórmulas de la función tangente

Para el cálculo integral y diferencial es importante conocer la derivada y la integral de la función tangente:

ddxtan⁡x=1cos⁡2x=sec⁡2x∫tan⁡xdx=−ln⁡∣cos⁡x∣+k\begin{gathered}\frac{d}{dx}\tan x=\frac{1}{\cos^2x}=\sec^2x\\\int\tan x\thinspace dx=-\ln|\cos x| + k\end{gathered}

A partir de la fórmula de Euler puede deducirse la siguiente igualdad:

tan⁡x=eix−e−ixi(eix+e−ix)\tan x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{i(e^{ix}+e^{-ix})}

Gráfica de la función tangente

La siguiente gráfica muestra el valor de la función tangente para valores del ángulo contenidos entre -360° y 360°.

El valor de la tangente tiene a infinito para los valor de 90°, 270°, .

Valores exactos de la función tangente

La función tangente de los siguientes ángulos puede calcularse exactamente mediante las expresiones indicadas:

Tangente de 0° → tan⁡0°=0\tan0\degree=0

Tangente de 30° → tan⁡30°=33\tan30\degree=\frac{\sqrt{3}}{3}

Tangente de 45° → tan⁡45°=1\tan45\degree=1

Tangente de 60° → tan⁡60°=3\tan60\degree=\sqrt{3}

Tangente de 120° → tan⁡120°=−3\tan120\degree=-\sqrt{3}

Tangente de 135° → tan⁡135°=−1\tan135\degree=-1

Tangente de 150° → tan⁡150°=−33\tan150\degree=-\frac{\sqrt{3}}{3}

Tangente de 180° → tan⁡180°=0\tan180\degree=0

Tangente de 210° → tan⁡210°=33\tan210\degree=\frac{\sqrt{3}}{3}

Tangente de 225° → tan⁡225°=1\tan225\degree=1

Tangente de 240° → tan⁡240°=3\tan240\degree=\sqrt{3}

Tangente de 300° → tan⁡300°=−3\tan300\degree=-\sqrt{3}

Tangente de 315° → tan⁡315°=−1\tan315\degree=-1

Tangente de 330° → tan⁡330°=−33\tan330\degree=-\frac{\sqrt{3}}{3}

Tangente de 360° → tan⁡360°=0\tan360\degree=0

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