Calculadora de interés compuesto

El interés compuesto es el tipo de interés que tiene en cuenta el capital inicial y los intereses acumulados para calcular los intereses del siguiente período.

La siguiente calculadora te permite calcular el capital inical, capital final, la tasa de interés o el período necesario para una situación concreta. También pueden considerarse aportaciones periódicas al final de cada período.

Por defecto se asume que el pago de intereses se produce de forma anual pero también puedes configurar la calculadora para otras situaciones.

Introduce las variables que conozcas en las siguientes celdas. También puedes utilizar la calculadora en función del capital final.

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Fórmula del interés compuesto

El interés compuesto se calcula teniendo en cuenta los intereses acumulados. Esto implica que en el primer período, dado que todavía no se han cobrado intereses, se calculan los intereses teniendo en cuenta solo el capital inicial.

A partir del segundo período estos se calculan a partir del capital inicial y los intereses del primer período. De forma sucesiva los intereses de los peródos siguientes tienen en cuenta los intereses acumulados en períodos anteriores.

Por ejemplo, si empezamos con un capital inicial $c_i$, una tasa de interés anual $r$ y asumimos que los intereses se cobran una vez al año, al cabo de un año el capital final será igual a:

$$c_{f1}=c_i\cdot(1+r)$$

Al final del segundo año el capital final será igual al capital final del primer año multiplicado otra vez por el interés aplicado. Es decir:

$$\begin{aligned}c_{f2}&=c_{f1}\cdot(1+r)\\&=c_i\cdot(1+r)\cdot(1+r)\\&=c_i\cdot(1+r)^2\end{aligned}$$

Podemos extrapolar la fórmula anterior para un número de años $t$. Al cabo de un número de años igual a $t$, el capital final será igual a:

$$c_f=c_i\cdot(1+r)^t$$

Por ejemplo, si tenemos un capital inicial de $\$5000$ y consideramos una tasa de interés anual del $8\%$, al cabo de 3 años tendremos un capital igual a:

$$c_f=\$5000\cdot(1+0.08)^3=\$6299$$

Interesés compuesto con pago de interés periódico

La fórmula anterior asume que el pago de intereses se produce únicamente una vez al año. También es posible calcular los intereses obtenidos si se asume que estos se pagan trimestralmente, mensualmente, etc. en lugar de anualmente.

Si asumimos que los intereses se pagan $n$ veces al año y conocemos la tasa de interés anual $r$ así como el número de años total $t$, podemos calcular el capital final mediante:

$$c_f=c_i\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}$$

Por ejemplo, si los intereses se pagan mensualmente esto significa que se pagan 12 veces al año, es decir $n=12$. En este caso, podemos calcular el capital final al cabo de 5 años $(t = 5)$ mediante:

$$c_f=c_i\left(1+\frac{r}{12}\right)^{12\cdot5}$$

Cálculo de la tasa de interés anual

Podemos utilizar la fórmula del interés compuesto para calcular la tasa de interés que se requiere para obtener un capital final dado $c_f$ al cabo de un período de años $t$.

Si conocemos el capital inicial, el capital final y el período de tiempo, la tasa de interés anual es igual a:

$$r=n\left(\left(\frac{c_f}{c_i}\right)^{\frac{1}{nt}}-1\right)$$

Cálculo del período de tiempo

De forma similar podemos calcular el número de años que hay que esperar para alcanzar un capital final $c_f$, a partir de un capital inicial $c_i$ si tenemos una tasa de interés anual igual a $r$.

$$t=\frac{\ln\left(\dfrac{c_f}{c_i}\right)}{n\ln\left(1+\dfrac{r}{n}\right)}$$

Interés compuesto y aportaciones periódicas

Un caso especial es el caso de el crecimiento del capital acumulado considerando interés compuesto y aportaciones periódicas de capital. Esto significa que cada cierto tiempo se añade una cierta cantidad al capital depositado. Esta cantidad también genera intereses pero solo durante una fracción del período total $t$.

Por ejemplo, imaginemos que empezamos con un capital inicial $c_i$ y añadimos siempre una cantidad $c_r$ a finales de año.

Al final del primer año tendremos el capital inicial, más los intereses generados por este capital, más la aportación adicional depositada al final. Es decir:

$$c_{f_1}=c_i\cdot(1+r)+c_r$$

Al final del segundo año tendremos el capital del finales del primer año, más los intereses generados por este capital, más la aportación periódica correspondiente al final del segundo año. Esto puede expresarse mediante:

$$\begin{aligned}c_{f_2}&=c_{f_1}\cdot(1+r)+c_r\\&=c_i\cdot(1+r)^2+c_r(1+r)+c_r\end{aligned}$$

Si expresamos esta relación para un período de años $t$, podemos escribir:

$$c_f=c_i\cdot(1+r)^t+c_r(1+r)^{t-1}+\dotsm+c_r(1+r)+c_r$$

Esto da lugar a una serie geométrica que puede simplificarse como:

$$c_f=c_i\cdot(1+r)^t+c_r\frac{(1+r)^t-1}{r}$$

La fórmula anterior asume que el pago de intereses se produce de forma anual y que también las aportaciones periódicas tienen lugar una vez al año.

El caso general es aquel en el que el pago de intereses se produce $n$ veces al año y se realizan $s$ aportaciones por año. En este caso, la fórmula anterior puede generalizarse a:

$$c_f=c_i\cdot\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}+c_r\frac{\left(1+\dfrac{r}{n}\right)^{nt}-1}{\left(1+\dfrac{r}{n}\right)^{n/s}-1}$$

Por ejemplo, imaginemos que tenemos un capital inicial $c_i$ de $\$20000$ y hacemos aportaciones mensuales $c_r$ de $\$1000$. Es decir, hacemos 12 aportaciones al año $(s=12)$. Conocemos que la tasa de interés anual es del 10% $(r=0.1)$ pero que el pago de intereses se produce de forma trimestral, es decir, cuatro veces por año $(n=4)$.

Podemos calcular según la fórmula anterior que al cabo de 10 años el capital final será igual a

$$c_f=\$20000\cdot\left(1+\frac{0.1}{4}\right)^{4\cdot10}+\$1000\frac{\left(1+\dfrac{0.1}{4}\right)^{4\cdot10}-1}{\left(1+\dfrac{0.1}{4}\right)^{4/12}-1}=\$257585$$