Calculadora del determinante de una matriz

El determinante de una matriz es un número real calculado a partir de los números contenidos en la matriz. El determinante de una matriz [A] se representa mediante

$$\text{det}(A)\text{ o }|A|$$

Una de las propiedades más importantes del determinante es que permite identificar si una matriz es inversible. Si el determinante de una matriz es igual a 0, entonces la matriz no se puede invertir. Si por el contrario, el determinante de una matriz es distinto de 0, entonces es posible calcular su matriz inversa.

El determinante solo puede calcularse en el caso de matrices cuadradas.

Puedes utilizar la siguiente calculadora para obtener el determinante de una matriz. Para ello, debes introducir primero la dimensión de la matriz:

Cálculo del determinante de una matriz

Las fórmulas más simples para calcular el determinante de una matriz dependen de la dimensión de la matriz.

En el caso de una matriz $2\times 2$, como por ejemplo:

$$A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$$

La fórmula para calcular su determinante es:

$$|A|=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}=a_{11}\cdot a_{22} - a_{12}\cdot a_{21}$$

Por ejemplo, el determinante de la matriz:

$$A=\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 7 \end{pmatrix}$$

Es igual a:

$$|A|= 3 \cdot 7 - 5 \cdot 2 = 11$$

En el caso de una matriz $3\times 3$ el proceso es un poco más complicado. Sin embargo, gracias a la regla de Sarrus se puede calcular el determinante de este tipo de matrices de forma relativamente simple. Dada una matriz:

$$A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}$$

La regla de Sarrus indica que su determinante puede calcularse mediante:

$$\begin{aligned}|A|=\thinspace &a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} + a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31} + a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32}\\ &- a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31} - a_{12}\cdot a_{21}\cdot a_{33} - a_{11}\cdot a_{23}\cdot a_{32}\end{aligned}$$

Por ejemplo, dada la matriz:

$$A=\begin{pmatrix} 3 & 2 & 7 \\ 1 & 5 & 2 \\ 8 & 4 & 4\end{pmatrix}$$

Su determinante es igual a:

$$\begin{aligned}|A|&=3 \cdot 5 \cdot 4 + 2 \cdot 2 \cdot 8 + 7 \cdot 1 \cdot 4 - 7\cdot 5\cdot 8 - 2\cdot 1\cdot 4 - 3\cdot 2\cdot 4\\ &= 60+32+28-280-8-24\\ &=-192\end{aligned}$$

En el caso de matrices de dimensión superior a 3 es posible calcular su determinante a partir de los adjuntos de los elementos de una fila. El adjunto $C_{ij}$ de un elemento de la matriz situado en la fila i y columna j, es decir el adjunto de $a_{ij}$, se define como:

$$C_{ij}=(-1)^{i+j}|\alpha_{ij}|$$

Donde $\alpha_{ij}$ es el menor complementario que se obtiene eliminando la fila i y la columna j de la matriz original.

Por ejemplo, en el caso de la matriz:

$$A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}$$

El menor complementario de $a_{11}$ es igual a:

$$\alpha_{11} = \begin{pmatrix}a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}$$

A partir de estas definiciones, puede calcularse el determinante de cualquier matriz multiplicando cada elemento de una fila por su adjunto y sumando los resultados. Por ejemplo, en el caso de una matriz $3\times 3$, esto daría como resultado:

$$\begin{aligned}|A|&=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}\\&=a_{11}\cdot C_{11} + a_{12}\cdot C_{12} + a_{13}\cdot C_{13}\\&=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}\\&=a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33} - a_{11}\cdot a_{23} \cdot a_{32} - a_{12}\cdot a_{21} \cdot a_{33}\\ &\quad+ a_{12}\cdot a_{23} \cdot a_{31} + a_{13}\cdot a_{21} \cdot a_{32} - a_{13}\cdot a_{22} \cdot a_{31}\end{aligned}$$

Puede comprobarse que esta expresión es equivalente a la regla de Sarrus presentada anteriormente.

Este mismo procedimiento puede utilizarse para calcular el determinante de matrices de dimensiones superiores. En el caso de una matriz $4\times 4$ da como resultado:

$$\begin{aligned}|A|&=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\end{vmatrix}\\&=a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{42} & a_{43} & a_{44}\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{43} & a_{44}\end{vmatrix}\\&\quad+a_{31}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{44}\end{vmatrix}-a_{41}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43}\end{vmatrix}\end{aligned}$$