Calculadora de producto vectorial

El producto vectorial es una operación entre dos vectores de un espacio tridimensional que da como resultado otro vector.

El vector que se obtiene como resultado del producto vectorial es un vector perpendicular a los dos vectores originales. En consecuencia, es un vector perpendicular al plano que contiene los dos vectores originales.

En la siguiente calculadora puedes introducir las componentes de cada vector para obtener el producto escalar entre los dos vectores.

$\vec{a} = ($

$,$

$,$

$)$

$\vec{b} = ($

$,$

$,$

$)$

Fórmula del producto vectorial

Si expresamos dos vectores utilizando la base canónica ${\bm{i},\bm{j},\bm{k}}$:

$$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)=a_1\bm{i}+a_2\bm{j}+a_3\bm{k}$$

$$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)=b_1\bm{i}+b_2\bm{j}+b_3\bm{k}$$

Podemos calcular el producto vectorial como:

$$(a_1\bm{i}+a_2\bm{j}+a_3\bm{k})\times(b_1\bm{i}+b_2\bm{j}+b_3\bm{k})=(a_2b_3-a_3b_2)\bm{i}+(a_3b_1-a_1b_3)\bm{j}+(a_1b_2-a_2b_1)\bm{k}$$

Alternativamente puede calcularse el producto vectorial a partir del siguiente determinante:

$$\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix}\bm{i}&\bm{j}&\bm{k}\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end{vmatrix}$$

Este determinante puede expresarse de forma equivalente como:

$$\begin{vmatrix}\bm{i}&\bm{j}&\bm{k}\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_2&a_3\\b_2&b_3\end{vmatrix}\bm{i}-\begin{vmatrix}a_1&a_3\\b_1&b_3\end{vmatrix}\bm{j}+\begin{vmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\end{vmatrix}\bm{k}$$

Esta operación da como resultado la misma expresión presentada anteriormente:

$$\vec{a}\times\vec{b}=(a_2b_3-a_3b_2)\bm{i}+(a_3b_1-a_1b_3)\bm{j}+(a_1b_2-a_2b_1)\bm{k}$$