Cálculo de aceleración en un plano inclinado

El movimiento de un bloque en un plano inclinado viene determinado por el ángulo de inclinación del plano. Si se tiene en cuenta el rozamiento entre el plano y el bloque hay que conocer también el peso y el coeficiente de fricción para deducir la posición, velocidad y aceleración del bloque.

En función del tratamiento que se de a la fuerza de rozamiento pueden considerarse dos casos:

Fórmulas del plano inclinado sin fricción

En un plano inclinado sin fricción, un bloque experimentará una aceleración únicamente debido a su peso.

Sabemos que la fuerza debido al peso es igual a $mg$ y que tiene dirección vertical con sentido hacia abajo.

Por otro lado, el bloque solo puede moverse en el eje definido por el plano inclinado. En este caso, definimos el eje $x$ con la misma dirección que el plano inclinado y con el sentido positivo hacia abajo.

Plano inclinado

La segunda ley de Newton dice que la fuerza aplicada sobre un cuerpo es igual a la masa multiplicada por la aceleración.

$$F=ma$$

Esto significa que si queremos conocer la aceleración del bloque en el eje $x$ tan solo debemos conocer la fuerza aplicada en este eje y la masa del bloque.

Aplicando relaciones trigonométricas básicas podemos descomponer el peso en sus componentes $x$ y $y$ definidas a partir del ángulo del plano inclinado ($\theta$):

Descomposición del peso en dos ejes

$$\begin{gathered}P_x=P\sin\theta=mg\sin\theta\\P_y=P\cos\theta=mg\cos\theta\\\end{gathered}$$

Si escribimos ahora la segunda ley de Newton correspondiente al eje $x$ obtenemos la aceleración del cuerpo en este eje:

$$F_x = ma_x = mg\sin\theta$$

En consecuencia, podemos deducir que la aceleración del cuerpo a lo largo de un plano inclinado si no hay fricción es igual a:

$$a = g\sin\theta$$

A partir de este resultado se concluye que la aceleración de un bloque en un plano inclinado sin considerar la fricción es independiente del peso del bloque. Esto implica que en absencia de fricción cualquier bloque independientemente de su masa experimentaría la misma aceleración.

Puedes introducir distintos valores del ángulo en la siguiente calculadora para ver como varía la aceleración del bloque.

°
m/s2

Velocidad final sin fricción

Si conoces la altura inicial del bloque ($h$) también puedes calcular la velocidad final y el tiempo que tarda el bloque en alcanzar el punto final del plano inclinado.

Para ello solo es necesario aplicar las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA).

En primer lugar debemos conocer la relación entre la altura inicial y la distancia total recorrida.

Desplazamiento en un plano inclinado

A partir de la imagen anterior podemos deducir la relación entre $\Delta x$ y $h$ por trigonometría:

$$h=\Delta x \sin\theta\longrightarrow\Delta x=\frac{h}{\sin\theta}$$

Utilizando ahora la fórmula del MRUA, considerando una velocidad inicial igual a cero e introduciendo la aceleración deducida anteriormente obtenemos:

$$\Delta x=v_0t+\frac{1}{2}at^2\longrightarrow\Delta x=\frac{h}{\sin\theta}=0\cdot t+\frac{1}{2}g\sin\theta t^2$$

Podemos aislar ahora la variable tiempo para conocer el tiempo total del recorrido:

$$t^2=\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{2h}{g}\longrightarrow t=\frac{1}{\sin\theta}\sqrt{\frac{2h}{g}}$$

Una vez conocido el tiempo total que tarda el bloque en llegar al final del plano inclinado, podemos calcular la velocidad final mediante la ecuación del MRUA:

$$v_f = v_0 + at$$

Considerando que $v_0=0$, que $a=g\sin\theta$ y la expresión del tiempo que acabamos de deducir, se obtiene:

$$v_f = 0+g\sin\theta\frac{1}{\sin\theta}\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{2gh}$$

Este valor de la velocidad final es el mismo que se alcanzaría si el cuerpo se encontrara en caída libre en lugar de en un plano inclinado. Esto indica que la velocidad final no depende del ángulo del plano inclinado, solo de la altura. La velocidad final siempre es la misma, lo único que varía es el tiempo que tarda hasta alcanzar el punto final.

Cuanto menor es el ángulo del plano inclinado, mayor es la distancia a recorrer ($\Delta x$) para una altura dada ($h$) y en consecuencia mayor es el tiempo total hasta llegar al final del plano. La velocidad final es siempre la misma para una altura dada, independientemente del ángulo.

En la siguiente calculadora puedes calcular la velocidad final y tiempo total de recorrido para una altura y ángulo del plano inclinado. Aquí puedes comprobar que la variación del ángulo solo influye en el valor del tiempo.

m
°
s
m/s

Fórmulas del plano inclinado con fricción

Si se tiene en cuenta la fuerza de rozamiento entre el bloque y la superficie del plano inclinado, el movimiento del bloque viene determinado por el peso, el ángulo del plano y el coeficiente de fricción entre las dos superficies.

Las fuerzas que actúan sobre el bloque son el peso ($P$), la fuerza normal ($N$) y la fuerza de rozamiento ($F_r$).

Para analizar este problema asumimos que el eje $x$ está orientado en la misma dirección que el plano inclinado y que apunta hacia abajo.

Plano inclinado

La fuerza de rozamiento es una fuerza que se opone al movimiento y, por lo tanto, en este caso apunta en el sentido negativo del eje $x$.

Las tres fuerzas que representan este problema están representadas en la siguiente imagen.

Plano inclinado con friccion

Sabemos que la fuerza normal es una fuerza de reacción perpendicular a la superficie donde se encuentra el cuerpo. Cuando un cuerpo se encuentra en una superficie horizontal la fuerza normal es exactamente igual al peso. En este caso la superficie está inclinada y, por lo tanto, la fuerza normal es solo una fracción del peso.

Esta relación puede observarse en la siguiente imagen:

Descomposición del peso en dos ejes

Esto indica que la contribución del peso perpendicular a la superficie es solo $P_y$ y, por lo tanto, la fuerza normal tiene la misma magnitud que $P_y$. Por trigonometría podemos deducir las siguientes relaciones:

$$\begin{gathered}P_x=P\sin\theta=mg\sin\theta\\P_y=N=P\cos\theta=mg\cos\theta\\\end{gathered}$$

Por otro lado, sabemos que la fuerza de rozamiento y la fuerza normal se relacionan mediante el coeficiente de fricción representado por $\mu$:

$$F_r=\mu N$$

En consecuencia podemos escribir la fuerza de rozamiento como:

$$F_r=\mu mg\cos\theta$$

Con estos datos podemos escribir la segunda ley de Newton correspondiente al eje $x$. La suma de fuerzas en el eje $x$ es igual a la masa multiplicada por la aceleración en el eje $x$. Esto da lugar a:

$$ma_x=P_x-F_r=mg\sin\theta-\mu mg\cos\theta$$

En consecuencia, la aceleración en el eje $x$, es decir, la aceleración a lo largo del plano inclinado cuando hay fricción es igual a:

$$a=g\sin\theta-\mu g\cos\theta$$

En este punto es importante introducir la distinción entre fricción estática y fricción dinámica. La fricción estática es la fuerza de fricción que actúa cuando no hay movimiento, mientras que la fricción dinámica es ligeramente inferior y es la fuerza que actúa cuando el bloque está en movimiento. Estas dos fuerzas se calculan utilizando coeficientes de fricción distintos.

$$\begin{gathered}F_{r\text{,estático}}=\mu_eN\\F_{r\text{,dinámico}}=\mu_dN\end{gathered}$$

En el caso presentado solo se iniciará el movimiento si la contribución del peso en el eje $x$ es mayor que la fuerza de rozamiento estático, es decir, si:

$$P_x>\mu_eN\longrightarrow mg\sin\theta>\mu_emg\cos\theta\longrightarrow \mu_e<\tan\theta$$

Si se cumple esta condición, entonces se iniciará un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) con aceleración igual a:

$$a=g\sin\theta-\mu_d g\cos\theta$$

En la siguiente calculadora puedes obtener la aceleración de un bloque si introduces el ángulo de inclinación del plano y el coeficiente de fricción.

°
m/s2

Velocidad final con fricción

Utilizando ahora las fórmulas del MRUA podemos ahora calcular la velocidad final en este caso.

En primer lugar, sabemos que el desplazamiento del bloque a lo largo del plano inclinado es igual a:

$$\Delta x=\frac{h}{\sin\theta}$$

Por lo tanto, considerando una velocidad inicial nula y la aceleración deducida anteriormente, podemos escribir:

$$\Delta x=v_ot+\frac{1}{2}at^2\longrightarrow \frac{h}{\sin\theta}=0\cdot t+\frac{1}{2}g(\sin\theta-\mu_d \cos\theta)t^2$$

A partir de esta igualdad, podemos deducir que el tiempo total del recorrido es igual a:

$$t=\frac{1}{\sqrt{\sin\theta(\sin\theta-\mu_d \cos\theta)}}\sqrt{\frac{2h}{g}}$$

Por último, podemos deducir la velocidad final a partir de la expresión de la velocidad del MRUA:

$$v_f = v_0+at$$

Que aplicada en este caso da como resultado:

$$v_f = \sqrt{\frac{\sin\theta-\mu_d \cos\theta}{\sin\theta}}\sqrt{2gh}$$

Puedes utilizar la siguiente calculadora para obtener la velocidad final así como el tiempo total, introduciendo la altura inicial, el ángulo y el coeficiente de fricción dinámica.

m
°
m/s
s